jueves, 14 de abril de 2022

LA PARADOJA DE LA VELOCIDAD

 Empezamos por dos humildes puntos en el plano. El primero, el uno. El segundo, el dos. En situación de ejes cartesianos, sus señas son, repectivamente, (x1,y1) y (x2,y2).

 


El primero es (1,3) y el segundo (2,5), sin perder generalidad.

 

Quién no sabe que estos dos puntos determinan una recta con forma

 

y(x) = a x + b

 

Para sacar los parámetros, usamos los puntos que ya tenemos.

 

y1 = a x1 + b

y2 = a x2 + b

 

Que, restadas al revés, brindan

 
Acá, los físicos incorporan el tiempo, tan misterioso. El valor tiempo del dinero, que tan revelador le resultara a Bernoulli. Los matemáticos, simplemente parametrizan.

x = x1 + (x2 – x1) t

y = y1 + (y2 – y1) t

0 < t  1

Si t es igual a dos cosas, esas cosas son iguales.

Desconcierta ver que la expresión de y(x) se parece mucho a la que obtuvimos antes. Por dos caminos, llegamos a la misma Roma.

 


Vamos bien. Parece que la matemática sigue sin mentir. Envalentonados por el éxito, nos adentramos en derivadas y velocidades. x(t), y(t) e y(x), todas ellas son puntos que se mueven de modo constante. x con velocidad (x2 – x1), y con derivada temporal (y2 – y1), e y(x) con cambio frente a x de magnitud a.

Si aplicamos la regla de la cadena, obtendremos el cambio de y(x) con respecto a t: su velocidad, concedamos.


¿Y ahora? Se complicó. Agarren fuerte esa estantería, que se nos viene abajo. ¿Recorre la diagonal con la misma velocidad que recorre la vertical? Esta, señoras, es la llamada “paradoja de la velocidad”, por la que había trompadas ya en el ágora ateniense, desde el VI AC. La matemática y la física no escapan a la infalible ley vídica de estar llenas, ambas, de paradojas.

Fue el gran Leonhard el que sacó esas castañas del fuego. Con Laplace y Joyce debo aquí recomendarles que lean a Euler, de ser posible en el original. Es, qué duda cabe, el maestro de todos.

Derivadas y diferenciales no son la misma cosa, como no lo son el hambre y las ganas de comer. La velocidad de y(x(t)) es la misma que la de y(t). Y si hubiéramos o hubiésemos expresado x en función de y, habríamos o habriésemos hallado la también magnífica, mágica coincidencia entre las derivadas de x(y(t)) y x(t). Lo que la velocidad de x(y) e y(x) no son, en absoluto, es la velocidad del punto que recorre la diagonal, al unísono con los correpondientes, que viajan uno verticalmente, el otro según la horizontal. Para hallar esa tasa de cambio, tendremos que plantear una función de dos variables, y derivarla, según la definición del diferencial, usando las consabidas derivadas parciales.

 Pitagóricamente, la distancia es cosa de cuadrados.

 

Por suerte no es necesario aquí tirar de la cadena, al final. Tenemos expresiones en t de x e y, y bien manejables.


Esta derivada está más clara que el agua.

Y ahora sí, cofrades. A saltar al vacío, sin red de contención social. Cual discípulos de Castaneda. Esta cantidad nos pone a prueba. Debe ser constante, mayor en valor absoluto que ambas velocidades componentales, e igual a la distancia entre nuestra pareja púntica original, nuestros Adán y Eva.

Si la velocidad es constante, y la distancia entre nuestra pareja puntual ocurre en tiempo uno, la derivada será igual a su distancia, que es

Rompe los ojos que esto es constante por un lado, e igualito a la derivada de f(t) por otro.

Y casi tan directo es que esta cantidad es mayor que las derivadas de las componentes. ¡Si parece armado al efecto, mis amigos! Cada uno de los sumandos que componen el radicando es el cuadrado de una de ellas. Al radicar, el resultado supera a cualquiera de las dos. Como por construcción, u arte de magia.

Derivando f(x,y) debería dar también. Es más difícil. Si alguno lo sabe hacer, me escribe, si es tan gentil.

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