lunes, 18 de abril de 2022

TIEMPO TIRANO

El tiempo es tirano. Se cuela y nos dice “la parametrisation c’est moi”. Pero el cariz temporal no es esencial. Calza con la realidad externa, sí. Pega con la física. Sirve, qué duda cabe, para entender. Para imaginar. Para concebir. Pero, por mucho que eso sea, no es más que eso.

Un segmento puede escribirse basado en otros dos, perpendiculares entre sí, como vimos. También puede diferirse su descripción usando círculos. El parámetro es tiempo, dado que lo llamamos t. Pero carga el germen de su destrucción. Lo hagas en Mathematica, en Python, en Octave/Matlab, o en Excel, los diferentes puntos estarán todos juntitos ahí, desde el principio. No caen uno después del otro, cincha porotos. Así es, nomás, como los ve nuestra mente tempizada, o crónica, si se prefiere.

Puse las herramientas programáticas (que no pornográficas) en orden de elegancia. Excel es la amiga fea. El pariente pobre. Pero la fea es, también, simpática. Algo nada menor. La planilla de cálculo, tan despreciada en ambientes científicos, tiene la enorme potencia de mostrar cada cosa por separado. Y todas juntitas, a su vez, si se me permite. Si armamos un vector, un segmento dirigido, en alguno de los otros paquetes, el despatarre de la dimensión temporal es menos evidente. Concediendo gradación a la calidad de evidente (una fuerte licencia poética), en todos ellos es evidente, pero en la hoja de cálculo lo es más. Como los cerdos de la granja de Orwell.

Fíjense que siempre graficamos tratando a todos los puntos por igual. El dibujo aparece de un golpe. No hay puntos primero, y puntos después. De hecho, la animación debe agregarse. En un proceso harto aparatoso construimos las imágenes y las ponemos en orden, y así satisfacemos nuestra humana devoción a Cronos. Así le permitimos al estudiante, o al colega, ver el dibujito que se mueve, y quedarse tranquilo.

Un cacho grande de la gracia de lo cuántico está en eso. Lo llaman superposición. Cada uno de los estados está en todo momento. Si poso mi vista en uno, aparece. Si no, están todos ahí. Si miro por la puerta del cuarto oscuro, ahí están, todos los fantasmas, deambulando, de aquí para allá, ocupados en su diario trajín. Si prendo la luz, ya no están. Estaban, todos ellos. Pero al poner el foco en la realidad real, lo que queda es ella. No es que no estén. Es que no lo vemos.

El otro día me crucé con un señor gritando onomatopeyas en plena vereda, de la plena avenida principal, de la plena capital. “¡Uh! ¡Uh!”. Alguno suficientemente curioso, suficientemente atrevido, siempre aparece para preguntar y habilitar el chiste. “¿Qué está haciendo usted, señor?”. “Estoy espantando a los tigres”. “Pero... ¡Si acá no hay tigres!”. “¿Viste cómo los espanto?”.

La tan misteriosa mecánica cuántica hace lo mismo que Excel. Los puntos y los estados están todos juntitos y presentes desde siempre. El tiempo nos permite, nomás, verlos de a uno, en un orden útil. Y quedarnos tranquilitos.

El interés ahora es invertir el orden de Fourier. O, mejor, de los dibujantes de Fourier. Los que dibujan con epiciclos hacen trampa, de alguna manera. Buscan o hacen el dibujo, establecen sus puntos, y sobre esa información conocida dibujan con círculos y más círculos. Dibujan el dibujo que ya fue dibujado. El que lo mira tiene la impresión de que están dibujando con las series de Fourier. En realidad, están armando las series de Fourier con los datos. Y luego te muestran su despliegue, orondos.

Yo quiero otra cosa. Quiero el opuesto, en cierto modo. El orden opuesto, digamos. Quisiera establecer una relación, entre los puntos disponibles y la cantidad de círculos. Círculos o, claro está, sumandos de Fourier. Si tengo que dibujar una curva que pase por n puntos preestablecidos: ¿cuántos circulitos danzantes necesitaré? ¿Y cuáles?

Si pongo un mísero puntito, necesito dos círculos. De iguales radio y frecuencia. El segundo de ellos con un desfasaje de medio círculo. Es decir, empezando apuntando en dirección opuesta. La punta del radio final se mantiene siempre en el centro del círculo inicial.

 

Aunque usted no lo crea, ésta es la gráfica de un punto. En una gráfica, un punto no es tal. Tiene una extensión. El punto punto sólo cabe en nuestra mente.



El mundo es de los audaces. Pongamos dos puntos. Pero no nos pasemos de arrojados. Empecemos, nomás, por apoyarlos en el eje horizontal.

Con dos círculos también lo logramos. Hay que cambiar radios y frecuencias (¡rayos y centellas!), pero anda como un relojito. El círculo final se desplaza por el eje horizontal. Va, en la primera mitad del giro del círculo original, y viene en la segunda. Si nos emperramos en pensar en tiempo, lo dibuja dos veces. Pero ahí está.




Ahí está, ahí está

viendo pasar el tiempo

No es necesario verlo moverse en la pantalla. Tu mente lo ve solita, con un poquito de práctica. Nos creemos que el ojo interior nos acompaña desde el momento en que nos separamos de los monos. No es así. El parloteo silente e incesante es cosa de los últimos siglos, como vio y compartió el enorme Julian Jaynes. No quiero contribuir al deterioro de tu consciencia. Miralo bien, fijo. Pensá, pensá fuerte, pensá más. Y vas a ver, verás, el círculo central girando antihorario, el final horario, y la punta del radio final deslizándose orgullosa sobre el eje de las abscisas. Hacia la izquierda durante pi radianes, y volviendo por el resto de la vuelta completa.

No sé decirte si sigue estando, en el Parque Rodó, la afamada Pista Veloz. Gran bochorno era para los preadolescentes confundirse, permitiendo al mosca sentársete en el respaldo de tu bólido personal, anulándote y humillándote al unísono. El mismo mosca que, al final, gritaba por los parlantes: “Derecha-izquierda, derecha-izquierda. Saquen el pie del pedal. La vuelta, ha finalizado”.

Tal vez podamos ir un poquitín más allá. ¿Qué si giramos un pelín el segmento de recta? Siempre sobre el centro del círculo inicial, sí. No te preocupes. Girémoslo, digamos, 30 grados, según las agujas del reloj. Que, de más está aclararlo, equivale a un tercio de la mitad de pi. Propongo aquí que podemos reconstruirlo con levísimas modificaciones. Basta con hacer que ambos radios apunten según nuestro nuevo segmento dirigido.


 Esperemos que no se rompa, si empujamos, todavía, unos milímetros. Al menos como lo veo yo, la situación siguiente es un segmento similar, pero que no tenga la limitación de pasar por el origen, ni de centrarse en él.

Al menos así, lo veo yo.

Soy de la impresión de que andaría. Basta con agregar un radio. No al final, sino al principio. Y quieto en algún lugar del recorrido circular. Por decir algo, formando un ángulo de 45 grados con la horizontal



A ojo de buen cubero, constatamos que sí, sí anda. Pitagóricamente, un alto de poquito más que 1.4, y una base de poquito más de 2.5, da unos 3, que son los 1.5 + 1.5 que teníamos. Fascinante.

No es sin dolor que reconozco que mis habilidades de agrimensor se quedan por aquí.

Si pusiéramos o pusiésemos tres puntos, ya no podríamos mantener fijo el primer radio. Sí se puede hacer con la parametrización lineal que desplegamos en una anterior entrega, y que mencionamos al comienzo de ésta (me refiero a ésta – es decir, no a la anterior). Porque esa descripción no está ligada a un centro. Hago el segmento sobre el eje x, o el inclinado, o el separado, todos de igual manera. Lo que cambio son los puntos de partida y llegada. Sabiendo los puntos, sé la descripción.

Dadme un punto de apoyo,

¡y moveré el mundo!

Dicho de otra manera, con la descripción por parámetros rectos, cada caso es diferente. Si parametrizo en forma circular, cada caso es una modificación. Estas diferencias tienen sus ventajas y sus desventajas. Como todo. Con la parametrización lineal podemos dibujar cualquier segmento sin incremento de dificultad alguno. Pero no podemos generar una suma de Fourier. Y menos podemos dibujar con epiciclos, y así impresionar a los giles.

¿Para qué voy a saltar sobre los árboles ahora?

¿Para impresionar a los indios?

El primer caso tiene estos puntos, y este gráfico.

 



Para establecer los puntos del segundo, consultamos al griego otra vez. Al de la isla de Samos. La hipotenusa es 3, y el ángulo un tercio de medio pi.


Y su presentación visual es ésta.


Para el tercero, habrá que sumar las componentes del radio inicial quieto, que seguramente recordarán. O que pueden constatar, caso contrario, unos párrafos antes.




Por supuesto, las gráficas son igualitas. Pero surgen de cálculos diferentes, no sean así de desconfiados. No me hagan incluirles el archivo de Excel, por el amor de Dios.

Mañana o pasado veremos cómo marcha esto desde Fourier. Si pongo un punto, qué dice Fourier. Y si pongo dos. Y si pongo tres. Y no pongo más, que creo que ya me expresé.

https://www.youtube.com/watch?v=qS4H6PEcCCA&t=310s

https://www.youtube.com/watch?v=2hfoX51f6sg

https://www.youtube.com/watch?v=QVuU2YCwHjw

https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k

https://www.youtube.com/watch?v=hIT-M7JffnM&t=15s


jueves, 14 de abril de 2022

LA PARADOJA DE LA VELOCIDAD

 Empezamos por dos humildes puntos en el plano. El primero, el uno. El segundo, el dos. En situación de ejes cartesianos, sus señas son, repectivamente, (x1,y1) y (x2,y2).

 


El primero es (1,3) y el segundo (2,5), sin perder generalidad.

 

Quién no sabe que estos dos puntos determinan una recta con forma

 

y(x) = a x + b

 

Para sacar los parámetros, usamos los puntos que ya tenemos.

 

y1 = a x1 + b

y2 = a x2 + b

 

Que, restadas al revés, brindan

 
Acá, los físicos incorporan el tiempo, tan misterioso. El valor tiempo del dinero, que tan revelador le resultara a Bernoulli. Los matemáticos, simplemente parametrizan.

x = x1 + (x2 – x1) t

y = y1 + (y2 – y1) t

0 < t  1

Si t es igual a dos cosas, esas cosas son iguales.

Desconcierta ver que la expresión de y(x) se parece mucho a la que obtuvimos antes. Por dos caminos, llegamos a la misma Roma.

 


Vamos bien. Parece que la matemática sigue sin mentir. Envalentonados por el éxito, nos adentramos en derivadas y velocidades. x(t), y(t) e y(x), todas ellas son puntos que se mueven de modo constante. x con velocidad (x2 – x1), y con derivada temporal (y2 – y1), e y(x) con cambio frente a x de magnitud a.

Si aplicamos la regla de la cadena, obtendremos el cambio de y(x) con respecto a t: su velocidad, concedamos.


¿Y ahora? Se complicó. Agarren fuerte esa estantería, que se nos viene abajo. ¿Recorre la diagonal con la misma velocidad que recorre la vertical? Esta, señoras, es la llamada “paradoja de la velocidad”, por la que había trompadas ya en el ágora ateniense, desde el VI AC. La matemática y la física no escapan a la infalible ley vídica de estar llenas, ambas, de paradojas.

Fue el gran Leonhard el que sacó esas castañas del fuego. Con Laplace y Joyce debo aquí recomendarles que lean a Euler, de ser posible en el original. Es, qué duda cabe, el maestro de todos.

Derivadas y diferenciales no son la misma cosa, como no lo son el hambre y las ganas de comer. La velocidad de y(x(t)) es la misma que la de y(t). Y si hubiéramos o hubiésemos expresado x en función de y, habríamos o habriésemos hallado la también magnífica, mágica coincidencia entre las derivadas de x(y(t)) y x(t). Lo que la velocidad de x(y) e y(x) no son, en absoluto, es la velocidad del punto que recorre la diagonal, al unísono con los correpondientes, que viajan uno verticalmente, el otro según la horizontal. Para hallar esa tasa de cambio, tendremos que plantear una función de dos variables, y derivarla, según la definición del diferencial, usando las consabidas derivadas parciales.

 Pitagóricamente, la distancia es cosa de cuadrados.

 

Por suerte no es necesario aquí tirar de la cadena, al final. Tenemos expresiones en t de x e y, y bien manejables.


Esta derivada está más clara que el agua.

Y ahora sí, cofrades. A saltar al vacío, sin red de contención social. Cual discípulos de Castaneda. Esta cantidad nos pone a prueba. Debe ser constante, mayor en valor absoluto que ambas velocidades componentales, e igual a la distancia entre nuestra pareja púntica original, nuestros Adán y Eva.

Si la velocidad es constante, y la distancia entre nuestra pareja puntual ocurre en tiempo uno, la derivada será igual a su distancia, que es

Rompe los ojos que esto es constante por un lado, e igualito a la derivada de f(t) por otro.

Y casi tan directo es que esta cantidad es mayor que las derivadas de las componentes. ¡Si parece armado al efecto, mis amigos! Cada uno de los sumandos que componen el radicando es el cuadrado de una de ellas. Al radicar, el resultado supera a cualquiera de las dos. Como por construcción, u arte de magia.

Derivando f(x,y) debería dar también. Es más difícil. Si alguno lo sabe hacer, me escribe, si es tan gentil.